Umkehrfunktionen

Definition §

Wir beschäftigen uns damit, wann eine Funktion

$$\begin{array}{rl}f:& \mathbb{D}\to \mathbb{B}\\ & x\mapsto y=f(x)\end{array}$$

eine Umkehrfunktion hat

$$\begin{array}{rl}{f}^{-1}:& \mathbb{B}\to \mathbb{D}\\ & y\mapsto x=f^{-1}(y)\end{array}$$

sodass

$$f(f^{-1}(y))=y,y\in \mathbb{B}$$

$$f^{-1}(f(x))=x,x\in \mathbb{D}$$

Definition §

Die Funktion $f:\mathbb{D}\to \mathbb{B}$ ist

• injektiv, wenn jedes Element aus der Bildmenge $B$ höchstens einmal getroffen wird.   0 oder 1 Mal
• surjektiv, wenn jedes Element der Bildmenge $\mathbb{B}$ mindestens einmal getroffen wird.   1 oder mehrere Male
• bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv zugleich ist.   Genau 1

Satz §

Zu jeder bijektiven Funktion $f:\mathbb{D}\to \mathbb{B}$ existiert eine eindeutige Umkehrfunktion $f^{-1}:\mathbb{B}\to \mathbb{D}$

Beispiele §

1. $f:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^{+},x\to e^x$ hat $f^{-1}:{\mathbb{R}}^{+}\to \mathbb{R},x\to \ln (x)$
2. Sei $f(x)=2x+3,f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dann finden wir $f^{-1}$ durch umstellen der Funktion nach $x$

$$\begin{array}{rl}f(x)=y& =2x+3/-3\\ y-s& =2x/:2\\ \frac{y-3}{2}& =x\\ \frac{1}{2}y-\frac{3}{2}& =x\\ \Rightarrow f^{-1}(x)& =\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\end{array}$$

Überprüfen §

1. $f(f^{-1}(x))=f(\frac{1}{2}x-\frac{3}{2})=2(\frac{1}{2}x-\frac{3}{2})+3=x-3+3=x$
2. $f^{-1}(f(x))=f^{-1}(2x+3)=\frac{1}{2}(2x+3)-\frac{3}{2}=x+3-3=x$