Exponential- und Logarithmusfunktionen

Definition §

Die Funktion

$$\begin{array}{rl}f:& {\mathbb{R}}^{+}\to \mathbb{R}\\ & x\mapsto f(x)={\log }_b(x),b\subset {\mathbb{R}}^{+}\setminus \{1\}\end{array}$$

heisst Logarithmusfunktion. Die Funktion

$$\begin{array}{rl}f:& \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^{+}\\ & x\mapsto f(x)=b^x,b\subset {\mathbb{R}}^{+}\setminus \{1\}\end{array}$$

heisst Exponentialfunktion.

Bemerkung §

Die beiden Funktionen sind Umkehrfunktionen voneinander. Sei $f(x)={\log }_b(x)$ und $f^{-1}(x)=b^x$ Dann gilt

1. $f(f^{-1}(x))={\log }_b(b^x)=x,x\subset \mathbb{R}$
2. $f^{-1}(f(x))=b^{{\log }_b(x)}=x,x\subset \mathbb{R}$

Beispiel §

1. Sei $f(x)=2^x$ Man kann jede Exponentialfunktion durch eine beliebige Basis ausdrücken. In der Praxis verwendet man meist die Eulersche Zahl $e$, wegen ihrer guten Eigenschaften. Sei also $e^k=2\iff \ln (2)=ln(e^k)=k$ $\Rightarrow f(x)=2^x=(e^{\ln (2)}{)}^x=e^{x\ln (2)}$ Strecke ich also $g(x)=e^x$ mit Faktor $\frac{1}{\ln (2)}$ in x-Richtung, so erhalte ich $f(x)=2^x$
2. Sei $f(x)={\log }_b(x)$. Dann ist

$$\begin{array}{rl}{\log }_b(k\cdot x)& ={\log }_b(k)+{\log }_b(x),k\subset {\mathbb{R}}^{+}\\ & ={\log }_b(x)+v,v={\log }_b(k)\end{array}$$

Das heisst eine Streckung in x-Richtung mit Faktor $\frac{1}{k}$ entspricht einer Verschiebung in y-Richtung um $v={\log }_b(k)$ Einheiten.