Quadratische Gleichungen

Definition §

Eine Gleichung heisst quadratisch, wenn sie äquivalent zur folgenden Gleichung ist:

$$a{x}^2+bx+c=0,a,b,c\subset \mathbb{R},a\ne 0$$

Diese Form ist die Grundform einer quadratischen Gleichung. Gleichung 2. Grades ist als Synonym zu verstehen.

Die reine quadratische Gleichung ($b=0$):

$$a{x}^2+c=0$$

hat die Lösung $x^2=-\frac{c}{a}=u$

• für $u=0\Rightarrow x=0$ eine Lösung.
• für $u<0\Rightarrow$ keine Lösung.
• für $u>0\Rightarrow x=\pm \sqrt{u}$ 2 Lösungen.

Beispiel §

$$\begin{array}{rl}2x^2-32& =0/+32\\ 2x^2& =32/:2\\ x^2& =16\\ x& =\pm 4\\ & \Rightarrow \mathbb{L}=\{4,-4\}\end{array}$$

Bemerkung §

Allgemein hat eine quadratische Gleichung keine, eine oder 2 Lösungen.

Lösung §

4 mögliche Lösungsansätze für quadratische Gleichungen.

1. Ist schon faktorisiert $(x+1)(x-3)=0$ Entweder $x+1=0\Rightarrow x_1=-1$ oder $x-3=0\Rightarrow x_2=3$ $\Rightarrow \mathbb{L}=\{-1,3\}$
2. Faktorisieren $x^2-10x+24=0$ $(x-4)(x-6)=0$ $x_1=4$ $x_2=6$ $\Rightarrow =\{4,6\}$
3. Quadratisch ergänzen $x^2+4x-1=0$ Idee: Welche binomische Formel pass zu $x^2+4x$? $(x+2{)}^2=x^2+4x+4$ $\Rightarrow x^2+4x-1=0$ $(x+2{)}^2=5$ $x+2=\pm \sqrt{5}$ $x=-2\pm \sqrt{5}$ $\Rightarrow \{-2-\sqrt{5},-2+\sqrt{5}\}$

Mitternachtsformel §

1. $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$