Potenzen

Definition §

1. Unter der n-ten Wurzel aus $a$: $\sqrt[n]{a},a\subset {\mathbb{R}}_0^{+},n\subset {\mathbb{N}}^{+}$ wird jene nicht negativ verstanden, deren n-te Potenz $a$ ergibt $(\sqrt[n]{a}{)}^n=a$ mit $n$ als Wurzelexponent und $a$ als Radikant
2. Potenzen der Form $a^{\frac{1}{n}}$ $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a},a\subset {\mathbb{R}}_0^{+},n\subset {\mathbb{N}}^{+}$
3. Potenzen der Form $a^{\frac{2}{n}}$ $a^{\frac{z}{n}}=(\sqrt[n]{a}{)}^z,a\subset {\mathbb{R}}_0^{+},n\subset {\mathbb{N}}^{+},z\subset \mathbb{Z}$

Bemerkung §

• Für $n$ = ungerade, kann die Wurzel auch für negative Radikanten definiert werden.
• Wir lassen hier nur positive Radikanten zu.

Beispiel §

1. $8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2$
2. $8^{\frac{-2}{3}}=(\sqrt[3]{8}{)}^{-2}=2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$
3. Bestimmen Sie bei einem Würfel die Seitenlänge $S$, sowie die Seitenfläche $F$ abhängig vom Volumen $V$. $S(V)=\sqrt[3]{V}=V^{\frac{1}{3}}$ $F(V)=(\sqrt[3]{V}{)}^2=V^{\frac{2}{3}}$