Lineare Funktionen

Definition §

Eine Abbildung $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ der Form $y=f(x)=mx+a,m,q,x\subset \mathbb{R}$ heisst lineare Funktion.

Steigung m und Koordinatenabschnitt q §

Sei $y=mx+q$ eine lineare Funktion. Dann ist $m$: Steigung, $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ $q$: y-Achsenabschnitt, Ordinatenabschnitt

Bemerkung §

• Ist $q=0$, dann ist der Graph eine Ursprungsgerade $y=mx$.
• Wenn $\Delta x=1$, dann ist $m=\Delta y$.
• Wenn $m>0$, dann steigt die Gerade. Wenn $m<0$, dann fällt die Gerade.

Aufgaben §

1. Geben Sie die Funktionsgleichung der Geraden durch $P_1(-1;4)$ und $P_2(1;3)$ an. Für $m$: $m=\frac{3-4}{1-(-1)}=\frac{-1}{2}$ Für $q$: Einen Punkt in Gleichung einsetzen. $y=mx+q$ $4=-\frac{1}{2}(-1)+q$ $q=4-\frac{1}{2}=3.5$ $\Rightarrow y=-\frac{1}{2}x+3.5$ Wir lösen eigentlich folgendes Gleichungssystem:

$$\left|\begin{array}{cc}3& =m\cdot 1+q\\ 4& =m(-1)+q\end{array}\right|$$

1. Seien $g$ und $f$ zwei Geraden.
   • Wenn $g\parallel f$ ($g$ parallel zu $f$), dann ist $m_g=m_f$.
   • Wenn $g\perp f$ ($g$ senkrecht zu $f$), dann ist $m_g=-\frac{1}{m_f}$, negativer Kehrwert. Sei $g(x)=y=\frac{2}{3}x+2$ und $P(2;2)$. Geben Sie die Funktionsgleichung von $f\perp g$, sodass $P\subset f$. $f(x)=y=mx+q$ Da $f\perp g$ ist $m_f-\frac{1}{m_g}=-\frac{2}{3}$ $\Rightarrow y=-\frac{3}{2}x+q$ Mit Punkt $P(2;2)$: $2=-\frac{3}{2}\cdot 2+q$ $2=-3+q$ $5=q$ $\Rightarrow f(x)=-\frac{3}{2}x+5$